一百盞燈(數學題)

現在有一百盞燈，全部都關著，
Mr 1進來，他按了他倍數的燈按鈕：1,2,3,4,5,6,7,8,9.......
Mr 2進來，他按了他倍數的燈按鈕：2,4,6,8,10,12,14........
Mr 3進來，他按了他倍數的燈按鈕：3,6,9,12,15,18,21.......
Mr 4進來，他按了他倍數的燈按鈕：4,8,12,16,20,24...........
直至Mr 100進來，他按了他倍數的燈按鈕：100
請問最後有多少盞燈是開著的？
如果可以，請列出開了的燈的號碼。
注意：一盞燈按一次是開，第二次是關！

**** Hidden Message *****

thx a lot

难难难难难难

回復 #1 小略子 的帖子

開掛

應該係用果d sequence 既式黎計...
但係我考完ce之後就唔記得哂lu~~~~:L

thanks

都好難喎 ...

4,9,16,25,36,49,64,81,100

漏o左個1添...

[[i] 本帖最後由 bravo 於 2006-11-19 11:55 PM 編輯 [/i]]

not too understand the question.

看來是一條質因數問題，試試看。首先：

基本定理 - 1) 所有n的正因數都是n的質因子的一些冪(power)的積
               2) 而因數的數目=(質因子的power+1)相乘

        例：   n = 72
                   = 8 * 9
                   = 2^3 * 3^2
          質因子 = 2，3
             因數 = 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72
    因數的數目 = 12
                   = (3+1) * (2+1)

在本題目中，因數的數目=按鈕次數，單數=最後是開，雙數=最後是關。

n=<100，質因子只需考慮 2，3，5，7 因為下一個質因子11，11^2=121 > 100。

若寫成 (2^p)(3^q)(5^r)(7^s) = n <= 100，則 (p+1)(q+1)(r+1)(s+1) 是單數的組合如下：

p    q    r    s     n    因數的數目
=   =   =   =   ==   =======
0    0    0    0     1         1
2    0    0    0     4         3
4    0    0    0    16         5
6    0    0    0    64         7
0    2    0    0     9         3
0    4    0    0    81         5
2    2    0    0    36         9
0    0    2    0    25         3
2    0    2    0   100         9
0    0    0    2    49         3

所以答案是 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100

ps：剛好是1-10各數的2次方，好像十分巧合，不知有沒有更快的方法。:loveliness:

:loveliness: 哈，明白，就係"果"個...

[[i] 本帖最後由 vwfl 於 2006-11-20 12:56 AM 編輯 [/i]]

=口= 見到都唔想計...

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

1??

so complicated

[quote]原帖由 [i]vwfl[/i] 於 2006-11-20 12:49 AM 發表
看來是一條質因數問題，試試看。首先：

基本定理 - 1) 所有n的正因數都是n的質因子的一些冪(power)的積
               2) 而因數的數目=(質因子的power+1)相乘

        例：   n = 72
                   = 8 * 9
      ... [/quote]

厲害，您一地學過 number theory :boy11:

[[i] 本帖最後由 3qu 於 2006-11-27 12:01 AM 編輯 [/i]]

very complex

cc

完全唔識, 要睇答案

1

唔知呀,睇睇答案先